青蛙的约会 【exgcd】

题目链接POJ-1061

【kuangbin带你飞】专题十四 数论基础

题目描述

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。


思路

先理解一下题意,我们看一下样例;
初始地图是这样子的,黄色代表第一只青蛙的初始位置,蓝色代表第二只青蛙的初始位置;
然后
在这里插入图片描述
经过4步之后,他们处于同一个点,代表相遇,我们输出4即可;
然后我们可以想到,可以设一个未知量K,代表通过K步,两只青蛙可以相遇;
那么我们不难得到;
(tmp_1 + K m ) % L = (tmp_2 + K n) % L

tmp_1 + K m ≡ tmp_2 + K n ( mod L) // 代表同余
然后移项得到
K(n - m) ≡ tmp_1 - tmp_2 (mod L)
显然,这是一个扩展欧几里得的标准式

K(n - m) + L s = tmp_1 - tmp_2
我们只需要求出K为多少即可知道答案;
我们知道扩展欧几里得可以求出 a
x + b * y = gcd(a, b) 的最小整数解,即一个特解;
所以tmp_1 - tmp_2 不是 gcd(n-m, L) 的时候 这时候就输出Impossible
其他情况,我们保证倍数和x都为正即可,因为步数不会为负;

代码

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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define long long long

long exgcd(long a, long b, long &x, long &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
long r = exgcd(b, a%b, x, y);
long tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return r;
}

int main()
{
long tmp_1, tmp_2, m, n, L, x, y;
cin >> tmp_1 >> tmp_2 >> m >> n >> L;
long r = exgcd(n - m, L, x, y);
if((tmp_1 - tmp_2) % (r) != 0)
{
cout << "Impossible" << endl;
}
else
{
int k = (tmp_1 - tmp_2) / r;
k = (k + L) % L;
cout << k * (x + L) % L << endl;
}
return 0;
}
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